Действительно,

так что последняя комбинация барицентрична. Вычисляя левую и правую части этого равенства по правилу, сформулированному в предложении п. 15, с помощью одной и той же точки и применяя формализм п. 6, легко получим, что они совпадают.

Наконец, барицентрические комбинации ведут себя как линейные комбинации относительно аффинных отображений.

18. Предложение. а) Пусть - аффинное отображение . Тогда

если .

б) Пусть a₀, ..., a_n задают барицентрическую систему координат в A₁. Тогда для любых точек существует единственное аффинное отображение f, переводящее a_i в b_i, i = 1, ..., n.

Доказательство. Выбрав , получим

по предложению п. 15, что доказывает утверждение а).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-