Пользуясь такого рода записями, мы будем иногда нуждаться в проверке ассоциативности или линейности по аргументам "смешанных" произведений матриц, часть которых имеет элементы из , а другая часть из L, например

((e₁, ..., e_n)A)B = (e₁, ..., e_n)(AB)

или

и т. п. Формализм пп. 3, 4 автоматически переносится на эти случаи. То же замечание относится к блочным матрицам.

б) Координаты вектора в измененном базисе. Пусть в пространстве L выбраны два базиса {e_i} и . Любой вектор можно представить его координатами в этих базисах: . Покажем, что существует квадратная матрица A порядка n, не зависящая от l, такая, что .

Действительно, если , то A = (a_ik):

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-