Точнее говоря, характеристический многочлен матрицы

равен t² - 1 и имеет корни . Легко проверить непосредственно, что соответствующие этим корням собственные подпространства ортогональны; ниже это будет доказано в гораздо большей общности. Поэтому любой оператор из O(2) с det U = -1 является отражением относительно некоторой прямой: он действует тождественно на этой прямой и меняет знак векторов, ортогональных к ней.

Пользуясь этой информацией, можем теперь установить структуру общих ортогональных и унитарных операторов.

4. Теорема. а) Для того чтобы оператор f в унитарном пространстве был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы он диагонализировался в ортонормированном базисе и имел спектр, расположенный на единичной окружности в C.

б) Для того чтобы оператор f в евклидовом пространстве был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в подходящем ортонормированном базисе имела вид

где на пустых местах стоят нули.

-1-2-3-4-5-6-7-