3. Теорема о точности функтора . Пусть - точная тройка конечномерных линейных пространств, P - любое конечномерное пространство над тем же полем. Тогда как функтор отдельно по первому и второму аргументу индуцирует точные тройки линейных пространств:

а) ,

б) .

Доказательство. а) Напомним (см. пример г) п. 6), что i₁ ставит в соответствие морфизму его композицию с , а j₁ ставит в соответствие морфизму его композицию с . Отображение i₁ инъективно, потому что i - инъекция, так что если композиция нулевая, то - нулевой морфизм. Отображение j₁ сюръективно в силу утверждения а) теоремы п. 2: любой морфизм можно поднять до морфизма , композиция которого с j дает исходный морфизм. Композиция j₁i₁ нулевая: она переводит стрелку в стрелку , которая является композицией , но ji = 0.

Мы проверили, что последовательность

а) является комплексом, и остается установить ее точность в среднем члене, т. е. Ker j₁ = Im i₁. Мы уже знаем, что . Для доказательства обратного включения заметим, что если стрелка лежит в ядре j₁, то композиция этой стрелки с равна нулю, а потому образ P в M лежит в ядре j. Но ядро j совпадает с образом в силу точности исходной тройки. Значит, P отображается в подпространство i), и потому стрелку можно поднять до стрелки , композиция которой с i даст исходную стрелку. Это и означает, что последняя лежит в образе i₁.

-1-2-3-4-5-