6. Теорема. Отображение exp переводит gl(n, ), sl(n, ), o(n, ), u(n), su(n) в GL(n, ), SL(n, ), SO(n, ), U(n), SU(n) соответственно.

Доказательство. Пространство gl(n, ) переходит в GL(n, ), так как согласно следствию п. 4 матрицы exp A обратимы. Если Tr A = 0, то det exp A = 1, как было доказано в предыдущем пункте. Из условия A + A^t = 0 следует, что (exp A)(exp A)^t = 1, а из условия следует, что . Это завершает доказательство.

7. Замечание. Во всех случаях образ exp покрывает некоторую окрестность единицы соответствующей группы. Для доказательства можно определить логарифм операторов f с условием обычной формулой и показать, что f = exp(log f).

Однако в целом отображения exp не сюръективны. Например, не существует матрицы , для которой . В самом деле, A не может быть диагонализируемой, иначе exp A была бы диагонализируемой. Значит, собственные значения A совпадают, а так как след A равен нулю, эти собственные значения должны быть нулевыми. Но тогда собственные значения exp A равны 1, тогда как собственные значения равны -1.

-1-2-3-4-