Нормированные линейные пространства

Здесь будут рассмотрены специальные свойства линейных пространств над вещественными и комплексными числами, связанные с возможностью определить в них понятие предельного перехода и построить начала анализа. Особую роль эти свойства играют в бесконечномерном случае, так что по существу излагаемый материал является элементарным введением в фундаментальный анализ.

1. Определение. Пара (E, d), где E - множество, а - вещественнозначная функция, называется метрическим пространством, если выполнены следующие условия для всех :

а) d(x, y) = d(y, x) (симметрия);

б) d(x, x) = 0; d(x, y) > 0, если (положительность);

в) (неравентство треугольника).

Функци d с такими свойствами назвается метрикой, а d(x, y) - расстоянием между точками x, y.

2. Примеры. а) E = R или C, d(x, y) = |x - y|.

б) E = Rⁿ или Cⁿ, . Это так называемая естественная метрика. Во второй части рассмотрим ее систематически и изучим ее обобщения на произвольные основные поля в теории квадратичных форм. Другие метрики:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-