Таким образом, f₁ + f₂ и af также линейны.

Пространство линейных функций на линейном пространстве L называется двойственным, или сопряженным к L пространством, и обозначается L*.

Далее будут рассмотрены другие конструкции линейных пространств.

10. Замечания относительно обозначений. Обозначать нуль и сложение в и L одинаковыми значками не вполне последовательно, но очень удобно. Все формулы обычной школьной алгебры, которые осмысленны в этой ситуации, оказываются верными.

Вот два примера, когда предпочтительнее другие обозначения.

a) Положим L = {x R | x > 0}. Рассмотрим L как абелеву группу по умножению и введем на L умножение на скаляры из R по формуле . Легко проверить, что все условия определения п.2 выполнены, хотя принимают в обычной записи другой вид: нулевой вектор в L есть 1, вместо 1l = l мы имеем x¹ = x; вместо a(bl) = (ab)l - тождество (x^b)^a = x^ba; вместо (a + b)l = al + bl - тождество x^{a + b} = x^ax^b и т. д.

b) Пусть L - векторное пространство над полем комплексных чисел C. Определим новое векторное пространство с той же аддитивной группой L, но другим законом умножения на скаляры:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-