Симплектические пространства

1. Здесь будем рассматривать конечномерные линейные пространства L над полем характеристики , снабженные невырожденным кососимметрическим скалярным произведением , и называть их симплектическими пространствами. Напомним свойства симплектических пространств, которые уже были установлены ранее, в разделе Теоремы классификации.

Размерность симплектического пространства всегда четна. Если она равна 2r, то в пространстве существует симплектический базис {e₁, ..., e_r; e_r+1, ..., e_2r}, т. е. базис с матрицей Грама вида

В частности, все симплектические пространства одинаковой размерности над общим полем скаляров изометричны.

Пространство называется изотропным, если ограничение скалярного произведения [ , ] на него тождественно равно нулю. Все одномерные подпространства изотропны.

2. Предложение. Пусть L - симплектическое пространство размерности 2r, - изотропное подпространство размерности r₁. Тогда , и если r₁ < r, то L₁ содержится в изотропном подпространстве максимальной возможной размерности r.

-1-2-3-4-5-6-7-8-