Теперь можем объяснить математический смысл матриц Паули, доказав обратное утверждение.

7. Предложение. Для каждого ортонормированного базиса {e₁, e₂, e₃} пространства существует ортонормированный базис {h₁, h₂} пространства , обладающий тем свойством, что

или ,

где A_e - матрица оператора e в базисе {h₁, h₂}. Он определен с точностью до умножения на комплексное число, по модулю равное единице.

Доказательство. Собственные значения e_i суть . Пусть , где e₃ действует на тождественно, а на - изменением знака. Выберем сначала векторы . Они определены с точностью до умножения на ; матрица e₃ в базисе есть .

Далее,

так что есть нулевой собственный вектор для e₃ с собственным значением -1. Поэтому . Аналогично . Матрица e₁ в базисе эрмитова, поэтому . Наконец, , поэтому . Заменив на , где | x | = | y | = 1, чтобы превратить матрицу e₁ в новом базисе в , получим

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-