Геометрия пространств со скалярным произведением / Унитарные пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Однако скалярные произведения в унитарном пространстве L и евклидовом LR не совпадают: второе принимает только вещественные значения, а первое - комплексные. На самом деле, эрмитово скалярное произведение на комплексном пространстве приводит не только к ортогональной, но и к симплектической структуре на LR с помощью следующей конструкции.
Временно мы возвращаемся к обозначению g(l, m) для эрмитова скалярного произведения на L и положим
a(l, m) = Re g(l, m),
b(l, m) = Im g(l, m).
Тогда имеют место следующие факты:
2. Предложение. а) a(l, m) - симметричное, а b(l, m) - антисимметричное скалярное произведение на LR; оба они инвариантны относительно умножения на i, т. е. канонической комплексной структуры на LR:
a(il, im) = a(l, m), b(il, im) = b(l, m);
б) a и b связаны следующими соотношениями:
a(l, m) = b(il, m), b(l, m) = - a(il, m);
в) любая пара связанных соотношениями б) i-инвариантных форм a, b на LR, первая из которых симметрична, а вторая антисимметрична, определяет эрмитово скалярное произведение на L по формуле
g(l, m) = a(l, m) + ib(l, m);
г) форма g положительно определена тогда и только тогда, когда форма a положительно определена.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-
|