Наконец, покажем, что биективное аффинное отображение является аффинным изоморфизмом. Для этого следует проверить, что обратное к f теоретико-множественное отображение аффинно. Но в обозначениях предыдущего абзаца это отображение определяется формулой

Поэтому

в силу линейности (Df) ^-1. Итак, f ^-1 аффинно и D(f ^-1) = D(f) ^-1.

Окончательно, мы установили импликации , откуда и следует предложение.

Конструкция конкретных аффинных отображений часто основывается на следующем результате.

11. Предложение. Пусть (A₁, L₁), (A₂, L₂) - два аффинных пространства. Для любой пары точек и любого линейного отображения существует единственное афинное отображение с f(a₁) = a₂ и Df = g.

В самом деле, положим

f(a₁ + l₁) = a₂ + g(l₁)

для .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-