Факторпространства

1. Пусть L - линейное пространство, - его линейное подпространство, а - вектор. Различные вопросы приводят к рассмотрению множеств вида

"сдвигов" линейного пространства M на вектор l. Вскоре мы убедимся, что такие сдвиги не обязаны быть линейными подпространствами в L; их называют линейными подмногообразиями. Начнем с доказательства следующей леммы.

2. Лемма. l₁ + M₁ = l₂ + M₂ тогда и только тогда, когда M₁ = M₂ = M и . Таким образом, всякое линейное подмногообразие однозначно определяет линейное подпространство M, сдвигом которого оно является. Вектор же сдвига определяется лишь с точностью до элемента из этого подпространства.

Доказательство.

Прежде всего, пусть . Положим l₁ - l₂ = m₀. Имеем

Но когда m пробегает все векторы из M, m - m₀ тоже пробегает все векторы из M. Поэтому l₁ + M = l₂ + M.

Наоборот, пусть l₁ + M₁ = l₂ + M₂. Положим m₀ = l₁ + l₂. Из определения ясно, что тогда m₀ + M₁ = M₂. Так как , мы должны иметь . Значит, m₀ + M₁ = M₁ по рассуждению в предыдущем абзаце, так что M₁ = M₂ = M. Это завершает доказательство.

-1-2-3-4-5-6-