Таким образом, сложение и умножение на скаляр действительно однозначно определены в L/M. Остается проверить аксиомы линейного пространства. Но они сразу же следуют из соответствующих формул в L. Например, одна из формул дистрибутивности проверяется так:

a[(l₁ + M) + (l₂ + M)] = a((l₁ + l₂) + M) = a(l₁ + l₂) + M =

= al₁ + al₂ + M = (al₁ + M) + (al₂ + M) = a(l₁ + M) + a(l₂ + M).

Здесь последовательно используются: определение сложения в L/M, определение умножения на скаляр в L/M, дистрибутивность в L и снова определение сложения и умножения на скаляр в L/M.

5. Замечания. а) Из определения видно, что аддитивная группа L/M совпадает с факторгруппой аддитивной группы L по аддитивной группе M. В частности, подмногообразие является нулем в L/M.

б) Имеется каноническое отображение : f(l) = l + M. Оно сюръективно, а его слои - прообразы элементов - суть как раз подмногообразия, отвечающие этим элементам. Действительно, по лемме п. 2

Заметим, что в этой цепочке равенств l₀ + M первый раз рассматривается как элемент множества L/M, а остальные - как подмножества в L.

Из п. 4 ясно, что f - линейное отображение, а лемма п. 2 показывает, что Ker f = M, т. к. l₀ + M = M тогда и только тогда, когда .

-1-2-3-4-5-6-