11. Следствие. Пусть dim L/L₀ = 1 и p - оператор ортогонального проектирования . Обозначим через собственные значения самосопряженного оператора . Тогда

т. е. собственные значения операторов f и pf перемежаются.

Доказательство. Ограничение формы q_f на L₀ совпадает с q_pf: (f(l), l) = (pf(l), l), если . Поэтому

для подходящего подпространства , имеющего коразмерность k - 1 в L₀. Значит, в L оно имеет коразмерность k, откуда . Записав это неравенство для -f вместо f, получим , т. е. . Это завершает доказательство.

Следствие п. 11 имеет следующий простой геометрический смысл. Будем считать, что и вместо функции q_f(l) на S рассмотрим эллипсоид . Тогда его сечение подпространством L₀ также представляет собой эллипсоид, длины полуосей которого перемежаются с длинами полуосей эллипсоида . Вообразите себе, например, эллипсоид в R³ и его сечение плоскостью . Большая полуось не превосходит большой полуоси ("очевидно"), но не меньше, чем средняя полуось . Малая полуось не меньше малой полуоси ("очевидно"), но не больше средней полуоси .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-