5. Колебания. Представим себе сначала шарик, который может кататься в плоскости R² под действием силы тяжести по желобу формы . Точка (0, 0) во всех случаях является одним из возможных движений шарика - положением равновесия. При это положение устойчиво: небольшое начальное отклонение шарика по положению или скорости приведет к его колебаниям около дна чаши. При оно неустойчиво: шарик свалится вдоль одной из двух ветвей параболы. При оно безразлично относительно отклонений по положению, но не по скорости: шарик может оставаться в любой точке прямой x₂ = 0 либо равномерно двигаться в любую сторону с начальным импульсом.

Оказывается, что математическое описание большого класса механических систем вблизи их положений равновесия хорошо моделируется качественно многомерным обобщением этой картинки: движением шарика вблизи начала координат по многомерной поверхности x_n+1 = q(x₁, ..., x_n) под действием силы тяжести. Если q положительно определена, любое "малое" движение будет близко к суперпозиции малых колебаний вдоль главных осей формы q. Вдоль нулевого пространства формы возможен уход на бесконечность с постоянной скоростью. Вдоль направлений, где q отрицательна, возможно сваливание вниз. Наличие как нулевого пространства, так и отрицательной компоненты сигнатуры свидетельствует о неустойчивости положения равновесия и сомнительности приближения "малых колебаний". Важно, однако, что когда это равновесие устойчиво, малые изменения формы чаши, по которой катается шарик (или, более технически, потенциала нашей системы), не нарушают этой устойчивости.

Чтобы понять это, вернемся к сделанному в начале замечанию о приближенном представлении любой (скажем, трижды дифференцируемой) вещественной функции f(x₁, ..., x_n). Вблизи нуля она имеет вид

где

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-