6. Пусть - биективное отображение. Тогда у него есть теоретико-множественное обратное отображение . Мы утверждаем, что f ^-1 автоматически линейно. Для этого следует проверить, что

f ^-1(m₁ + m₂) = f ^-1(m₁) + f ^-1(m₂), f ^-1(am₁) = af ^-1(m₁)

для всех ; . Поскольку f биективно, существуют и однозначно определены такие векторы , что m_i = f(l_i).

Написав формулы

f(l₁) + f(l₂) = f(l₁ + l₂), af(l₁) = f(al₁),

применив к их обеим частям f ^-1 и заменив в результате l_i на f ^-1(m_i), получим требуемое.

Биективные линейные отображения называются изоморфизмами. Пространства L и M называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм.

Следующая теорема показывает, что размерность пространства полностью определяет его с точностью до изоморфизма.

7. Теорема. Два конечномерных пространства L и M над полем изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.

Доказательство. Изоморфизм l: сохраняет все свойства, формулируемые в терминах линейных комбинаций. В частности, он переводит любой базис L в некоторый базис M, так что размерности L и M совпадают. (Из этого рассуждения следует также, что конечномерное пространство не может быть изоморфно бесконечномерному.)

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-