12. Теорема. Пусть L - конечномерное линейное пространство, - линейное отображение. Тогда Ker f и Im f конечномерны и

dim Ker f + dim Im f = dim L.

Доказательство. Ядро f конечномерно по следствию. Выберем базис {e₁, ..., e_m} в Ker f и продолжим его до базиса {e₁, ..., e_m, e_m+1, ..., e_m+n} пространства L по теореме. Покажем, что векторы f(e_m+1), ..., f(e_m+n) образуют базис в Im f. Отсюда очевидно, будет следовать теорема.

Любой вектор из Im f имеет вид

Следовательно, f(e_m+1), ..., f(e_m+n) порождают Im f.

Предположим, что . Тогда . Это значит, что Ker f, т. е. . Это возможно, только если все коэффициенты равны нулю, т. к. {e₁, ..., e_m+n} - базис L. Следовательно, векторы f(e_m+1), ..., f(e_m+n) линейно независимы. Теорема доказана.

13. Следствие. Следующие свойства f равносильны (в случае конечномерного L):

a) f инъективно.

б) dim L = dim Im f.

Доказательство. Согласно теореме, dim L = dim Im f тогда и только тогда, когда dim Ker f = 0, т. е. Ker f = {0}.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-