Доказательство. Очевидно, что s(V)l линейно по l и сохраняет квадраты длин: . Поэтому . Так как группа SL(2, C) связна, любой ее элемент можно непрерывно деформировать в единичный, оставаясь внутри SL(2, C), - преобразование Лоренца s(V) можно непрерывно деформировать в тождественное, так что . Поскольку s(id) = id и s(V₁V₂) = s(V₁)s(V₂), s является гомоморфизмом групп. Если для всех , то, в частности, , где - матрицы Паули. Условие означает, что V унитарна; после этого условия означает, что : это было доказано в п. 12. Таким образом, .

Осталось установить, что s сюръективен. Пусть - преобразование Лоренца из , переводящее ортонормированный базис {e_i} в . Метрики на , отвечающие e₀ и , определены, т. к. собственные значения как e₀, так и имеют одинаковый знак, потому что . Из следует, что эти метрики одновременно положительно или отрицательно определены. Действительно, выше мы убедились, что соединяющий их отрезок , целиком состоит из времениподобных векторов. Отсюда уже вытекает существование такой матрицы , что s(V) переводит e₀ в , т. е. , где e₀ и отождествлены с их матрицами Грама. Действительно, V - это матрица изометрии с ; априори ее определитель может быть равен -1, но это противоречило бы возможности соединить V с E₂ в SL(2, C) с помощью деформации V_q, где - соответствующая деформация в .

Итак, s(V) переводит e₀ в . Дальше остается показать, что евклидов поворот {s(V)e₁, s(V)e₂, s(V)e₃} в можно осуществить с помощью s(U), где и s(U) оставляет e₀ на месте. Можно считать, что представлен матрицей в базисе {h₁, h₂}. Тогда мы должны выбрать U унитарной с условием для i = 1, 2, 3. Это можно сделать по теореме п. 12, т. к. базисы {s(V)e_i} и , i = 1, 2, 3, в ортонормированы и одинаково ориентированы. Доказательство окончено.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-