Подпространства и прямые суммы

1. Пусть - два подпространства. Естественно считать, что они одинаково расположены внутри L, если существует такой линейный автоморфизм , который переводит L₁ в . Для этого, конечно, необходимо, чтобы dim L₁ = dim, потому что f сохраняет все линейные соотношения и, значит, переводит базис L₁ в базис . Но этого и достаточно. В самом деле, выберем базисы {e₁, ..., e_m} в L₁ и в . По теореме п.12 их можно дополнить до базисов {e₁, ..., e_m, e_m+1, ..., e_n} и пространства L. По предложению п.3 существует линейное отображение , переводящее e_i в для всех i. Это отображение обратимо и переводит L₁ в .

Таким образом, все линейные подпространства одинаковой размерности одинаково расположены внутри L.

Дальше рассмотрим возможные расположения (упорядоченных) пар подпространства . Пары (L₁, L₂) и (, ) одинаково расположены, если существует такой линейный автоморфизм , что f(L₁) = f(L₂) = . Снова равенства dim L₁ = dim и dim L₂ = dim являются необходимыми для одинаковой расположенности. Однако этих условий уже не достаточно. Действительно, если (L₁, L₂) и (, ) одинаково расположены, то f переводит подпространство в , и потому необходимо также условие dim() = dim(). Если dim L₁ и dim L₂ фиксированы, но L₁ и L₂ в остальном произвольны, то dim() может принимать целый ряд значений.

Чтобы выяснить, какими они могут быть, введем понятие суммы линейных подпространств.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-