Наоборот, если базис {e₁, ..., e_n} фиксирован, а G - любая матрица размера над , то отображение (или в полуторалинейном случае) определяет скалярное произведение на L с матрицей G в этом базисе, как показывают очевидные проверки. Таким образом, наша конструкция устанавливает биекцию между скалярными произведениями (билинейными или полуторалинейными) на n-мерном пространстве с базисом и матрицами размера .

Выясним, как меняется G при замене базиса. Пусть A - матрица перехода к штрихованному базису. В координатах: , где - столбец координат вектора в старом базисе, а - столбец его же координат в новом. Тогда в билинейном случае

так что матрица Грама штрихованного базиса равна A^tGA. Аналогично, в полуторалинейном случае она равна .

В разделе Линейные пространства и линейные отображения матрицы служили нам в основном для записи линейных отображений, и интересно выяснить, нет ли естественного линейного отображения, связанного с g и отвечающего матрице Грама G. Оно действительно существует, и его конструкция дает равносильный способ задания скалярного произведения.

б) Пусть - скалярное произведение. Поставим в соответствие каждому вектору функцию , для которой

Эта функция линейна по m в билинейном случае и антилинейна в полуторалинейном, т. е. или соответственно для каждого l.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-