Покажем, что если характеристика поля не равна 2, то для всякой квадратичной формы q существует единственная симметричная билинейная форма g со свойством q(l) = g(l, l), называемая поляризацией q.

Для доказательства существования положим q(l) = h(l, l), где h - исходная билинейная форма, и

Очевидно, g симметрична, т. е. g(l, m) = g(m, l). Кроме того,

Билинейность g сразу же следует из билинейности h.

Для доказательства единственности заметим, что если q(l) = g₁(l, l) = g₂(l, l), где g₁, g₂ симметричны и билинейны, то форма g = g₁ - g₂ тоже симметрична и билинейна, и g(l, l) = 0 для всех . Но по рассуждению в доказательстве теоремы п. 3 отсюда следует, что g(l, m) = 0 для всех , что завершает доказательство. Заметим, что если q(l) = g(l, l), g симметрична, то

Установили, таким образом, что ортогональные геометрии (над полями характеристики ) можно рассматривать как геометрии пар (L, q), где - квадратичная форма.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-