Это противоречие завершает доказательство того, что у изометричных пространств сигнатуры, вычисленные по любым ортогональным разложениям, одинаковы.

Наоборот, если (L, g), (L', g') - два пространства с одинаковыми сигнатурами, то между подпространствами из их ортогональных разложений и можно установить взаимно однозначное соответствие , сохраняющее знак ограничения g на L_i и g' на соответственно. По результатам пп. 7 и 8 существуют изометрии , и их прямая сумма будет изометрией между L и L'.

Теперь выведем несколько следствий и переформулировок теорем пп. 3 и 5, которые подчеркивают разные аспекты ситуации.

6. Базисы. Пусть (L, g) - пространство со скалярным произведением. Базис {e₁, ..., e_n} в L называется ортогональным, если g(e_i, e_j) = 0 для всех . Из теоремы п. 5 следует, что у любого ортогонального или эрмитова пространства имеется ортогональный базис. Действительно, достаточно построить разложение на ортогональные одномерные подпространства и затем выбрать .

Ортогональный базис {e_i} называется ортонормированным, если g(e_i, e_i) = 0 или для всех i. Обсуждение в конце раздела Скалярные произведения показывает, что у любого ортогонального пространства над R или C и у любого эрмитова пространства имеется ортонормированный базис. Теорема п. 5 показывает, что числа элементов e ортонормированного базиса с g(e, e) = 0, 1 или -1 не зависят от базиса для = R (ортогональный случай) и = C (эрмитов случай). В ортогональном случае над C всегда можно добиться того, что g(e_i, e_i) = 0 или 1, и количества таких векторов в базисе не зависят от самого базиса. Матрица Грама ортонормированного базиса имеет вид

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-