Пусть L - невырожденное симплектическое пространство, {e₁, ..., e_r, e_r+1, ..., e_2r} - симплектический базис в нем. Пусть L₁ - линейная оболочка {e₁, ..., e_r}; L₂ - линейная оболочка {e_r+1, ..., e_2r}. Очевидно, пространства L₁ и L₂ изотропны, имеют половинную размерность и . Каноническое отображение определяет отображение

Это отображение является изоморфизмом, т. к. и : вектор из ортогонален к L₂, т. к. L₂ изотропно, и к L₁ по определению, а L невырождено.

Отсюда следует, что любое невырожденное симплектическое пространство изометрично пространству вида с симплектической формой

Дальнейшие подробности рассмотрены в разделе Пространство Минковского.

7. Матрицы. Описывая скалярные произведения их матрицами Грама и переходя от случайного базиса к ортогональному или симплектическому, в силу результатов п.2 и п.6 этого раздела получаем следующие факты:

а) Всякую квадратную симметричную матрицу G над полем можно привести к диагональному виду преобразованием , где A невырождена. При = R можно добиться, чтобы на диагонали стояли только , а при = C - только 0, 1; количества 0 и (соответственно 0 и 1) будут зависеть лишь от G, но не от A.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-