18. Предложение. Подмножество является аффинным подпространством тогда и только тогда, когда вместе с любыми двумя точками оно содержит всю прямую, проходящую через эти точки, т. е. их аффинную оболочку.

Доказательство. Прямая, проходящая через точки , - это множество . Поэтому необходимость условия следует из предложения п. 9. Наоборот, пусть оно выполнено. Поскольку в силу того же предложения аффинная оболочка S состоит из всевозможных барицентрических комбинаций точек S, мы должны проверить, что такие комбинации лежат в S. Проведем индукцию по n. При n = 1, 2 результат очевиден. Пусть n > 2 и для меньших значений n результат доказан. Представим в виде

где (можем считать, что обе эти суммы не равны нулю, иначе по индуктивному предположению). Очевидно,

Значит, и лежат в S, и потому их барицентрическая комбинация с коэффициентами y₁, y₂ лежит в S. Это завершает доказательство.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-