7. Предложение. Пусть (B₁, M₁), (B₂, M₂) - два аффинных подпространства в A. Тогда либо пусто, либо является аффинным подпространством с направляющим .

Доказательство. Пусть непусто и . Тогда , откуда , что доказывает требуемое. (Следствие п. 5, очевидно, вытекает отсюда.)

8. Аффинные оболочки. Пусть - некоторое множество точек в аффинном пространстве A. Наименьшее аффинное подпространство, содержащее S, называется аффинной оболочкой S. Оно существует и совпадает с пересечением всех аффинных подпространств, содержащих S. Мы можем описать аффинную оболочку в терминах барицентрических линейных комбинаций (предложение п. 11).

9. Предложение. Аффинная оболочка множества S совпадает с множеством барицентрических комбинаций элементов из S:

где пробегает всевозможные конечные подмножества S.

Доказательство. Покажем прежде всего, что барицентрические комбинации образуют аффинное подпространство в A. В самом деле, обозначим через линейное подпространство, натянутое на всевозможные векторы .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-