Докажем несколько основных результатов о конгруэнтности.

Пусть A - аффинное пространство размерности n. В соответствии с результатами пп. 9-11 назовем конфигурацию {a₀, ..., a_n} из n + 1 точки в A координатной, если ее аффинная оболочка совпадает с A.

14. Предложение. а) Любые две координатные конфигурации конгруэнтны и переводятся друг в друга единственным отображением .

б) Координатные конфигурации {a₀, ..., a_n} и в евклидовом пространстве A метрически конгруэнтны тогда и только тогда, когда для любых .

Доказательство. а) Положим . Системы {e_i} и образуют базисы в L. Пусть - линейное отображение, переводящее e_i в . Построим аффинное отображение со свойством Df = g и . Оно существует по утверждению п. 11 и лежит в Aff A, т. к. g обратимо. Кроме того,

для всех i = 1, ..., n. Эта же формула показывает, что f единственная, т. к. Df должно переводить e_i в и .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-