10. Предложение. Пусть - аффинное отображение двух аффинных пространств; и - аффинные подпространства. Тогда и являются аффинными подпространствами.

Доказательство. Пусть , где M₁ - направляющее пространство для B₁. Тогда . Следовательно, f(B₁) - аффинное подпространство с направляющим пространством Im Df.

В частности, f(A₁) есть аффинное подпространство в есть аффинное подпространство и в силу общих теоретико-множественных определений. Заменив A₂ на f(A₁) и B₂ на , мы можем ограничиться случаем, когда f сюрьективно. Пусть M₂ - направляющее пространство для B₂. Тогда и . Справа можно ограничиться одним значением : остальные получатся из него сдвигами на Ker Df. Отсюда следует, что f ^-1(B₂) имеет вид и потому является аффинным подпространством с направляющим подпространством (Df) ^-1(M₂).

11. Следствие. Множество уровня любой аффинно линейной функции является аффинным подпространством.

Доказательство. В самом деле, множества уровня аффинно линейной функции суть прообразы точек в . Но любая точка в аффинном пространстве является аффинным подпространством (с направляющим {0}).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-