Это система i - 1 линейных уравнений для i - 1 неизвестных x_j. Ее матрица коэффициентов есть матрица Грама базиса пространства L_i-1. По предположению, она невырождена, так что x_j существуют и определены однозначно. Любой ненулевой вектор , ортогональный к L_i-1, должен быть пропорционален e_i.

Более простая и решаемая сразу система уравнений получится, если искать e_i в виде

считая e₁, ..., e_i-1 уже найденными. Поскольку e₁, ..., e_i-1 попарно ортогональны, из условий g(e_i, e_j) = 0, , находим

Весь смысл этого доказательства состоит в явном выписывании систем линейных уравнений, последовательное решение которых определяет e_i. Заметим, что матрица коэффициентов первой системы суть последовательные диагональные миноры матрицы Грама исходного базиса:

Если бы мы не стремились к алгоритмичности, проще всего было бы рассуждать так: в силу предположения п. 2 и невырожденности L_i-1 имеем

Возьмем теперь в качестве e_i любой ненулевой вектор из .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-