4. Замечания и следствия. а) Процесс ортогонализации Грама-Шмидта чаще всего применяется в ситуации, когда g(l, l) > 0 для всех , т. е. к евклидовым и унитарным пространствам, которые подробно изучим позже. В этом случае все подпространства L автоматически невырождены, и ортогонализировать можно любой исходный базис. Форма g с таким свойством называется положительно определенной, и ее матрицы Грама называются положительно определенными.

б) В случае = R или C можно строить сразу ортонормированный базис. Для этого, отыскав вектор e_i, как в доказательстве предложения, следует тут же заменить его на или (для ортогональных пространств над C).

в) Любой ортогональный базис невырожденного подпространства можно дополнить до ортогонального базиса всего пространства L.

Действительно, , и в качестве дополнения можно взять ортогональный базис . Искать его можно методом Грама-Шмидта, если сначала как-нибудь дополнить базис L₀ до базиса L, позаботившись о невырожденности промежуточных подпространств.

г) Пусть - базис (L, g), а {e₁, ..., e_n} - его ортогонализация. Положим a_i = g(e_i, e_i) - это единственные ненулевые элементы матрицы Грама базиса {e_i}. Будем считать, что g эрмитова или g ортогональна над R. Тогда все числа a_i вещественны, и сигнатура g определяется количеством положительных и отрицательных чисел a_i. Покажем, как восстановить ее по минорам исходной матрицы Грама . Пусть G_i - i-й диагональный минор, т. е. матрица Грама . Если A_i - матрица перехода к базису {e₁, ..., e_i}, то

в ортогональном случае или

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-