3. Определение. Пространство L называется конечномерным, если оно либо нульмерно, либо имеет конечный базис. Остальные пространства называются бесконечномерными.

Удобно считать, что базис нульмерного пространства образует пустое множество векторов. Поскольку для нульмерных пространств все наши утверждения тривиплизируются, мы обычно будем ограничиваться рассмотрением непустых базисов.

4. Теорема. В конечном пространстве число элементов базиса не зависит от базиса.

Это число называется размерностью пространства L и обозначается dim L или . Если dim L = n, пространство L называется n-мерным. В бесконечном случае мы пишем .

Доказательство. Пусть {e₁, ..., e_n} - некоторый базис L. Мы докажем, что никакое семейство векторов с m > n не может служить базисом L по следующей причине: существует представление нулевого вектора , в котором не все x_i равны нулю. Поэтому 0 не однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов : всегда существует тривиальное представление .

Отсюда уже следует полное утверждение теоремы, поскольку этим мы проверим, что никакой базис не может содержать больше элементов, чем другой базис.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-