Линейная независимость семейства {e_i} означает, что нулевой вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации элементов семейства. Тогда любой другой вектор имеет либо единственное представление, либо ни одного. Действительно, сравнивая два представления

находим откуда .

Отсюда следует второе характеристическое свойство базиса: его элементы линейно независимы.

Определение этих двух свойств равносильно первоначальному определению базиса.

Заметим, что семейство векторов линейно независимо тогда и только тогда, когда оно образует базис своей линейной оболочки.

Семейство {e₁, ..., e_n} заведомо линейно зависимо, если среди векторов e_i есть нулевой или два одинаковых.

9. Лемма. а) Семейство векторов {e₁, ..., e_n} линейно зависимо тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов e_j является линейной комбинацией остальных.

б) Если семейство {e₁, ..., e_n} линейно независимо, а семейство {e₁, ..., e_n, e_n+1} линейно зависимо, то e_n+1 является линейной комбинацией e₁, ..., e_n.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-