Доказательство.

a) Если и , то . Наоборот, если , то .

б) Если не все a_i равны нулю, то обязательно, иначе мы получили бы нетривиальную линейную зависимость между e₁, ..., e_n. Поэтому . Лемма доказана.

Пусть E = {e₁, ..., e_n} - некоторое конечное семейство векторов в L, F = {e_i1, ..., e_im} - его линейно независимое подсемейство. Назовем F максимальным, если каждый элемент из E линейно выражается через элементы из F.

10. Предложение. Каждое линейно независимое подсемейство содержится в некотором максимальном линейно независимом подсемействе . Линейные оболочки F и E совпадают.

Доказательство.

Если в есть вектор, не представимый в виде линейной комбинации элементов , добавим его к . В силу утверждения б) леммы п. 9 полученное семейство будет линейно независимым. Применим то же рассуждение к и т. д. Поскольку E конечно, этот процесс оборвется на максимальном семействе F. Любой элемент линейной оболочки E, очевидно, линейно выражается через векторы семейства F.

В случае в качестве нужно выбрать ненулевой вектор из E, если он есть; иначе F пусто.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-