Следствие. Пусть - линейный оператор на конечномерном комплексном пространстве L. тогда det f_R = |det f|².

Доказательство. Пусть f представлен матрицей B + iC (B, C - вещественны) в базисе {e₁, ..., e_m}. Тогда, применяя элементарные преобразования (прямо в блочной структуре) сначала к строкам, потом к столбцам, находим:

4. Спуск поля скаляров: общая ситуация. Довольно очевидно, как обобщаются определения п. 2. Пусть K - некоторое поле, - его подполе, L - линейное пространство над K. Забыв про умножение векторов на все элементы поля K и оставив лишь умножение на элементы , получим линейное пространство над . Аналогично, линейное отображение над K превращается в линейное отображение . Одно из названий этих операций - спуск поля скаляров (от K до ). Ясно, что , если . Само поле K можно также рассматривать как линейное пространство над . Если оно конечномерно, то размерности и связаны формулой

Для доказательства достаточно проверить, что если {e₁, ..., e_n} - базис L над K, а {b₁, ..., b_m} - базис K над , то {b₁e₁, ..., b₁e_n; ...; b_me₁, ..., b_me_n} образуют базис над .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-