10. Комплексификация. Теперь фиксируем вещественное линейное пространство L и введем комплексную структуру J на внешней прямой сумме , определив ее формулой

J(l₁, l₂) = (-l₂, l₁).

Ясно, что J² = -1. Назовем комплексификацией пространства L комплексное пространство , связанное с этой структурой. Будем обозначать его L^C. Другие стандартные обозначения или ; их происхождение станет ясно после ознакомления с тензорными произведениями линейных пространств. Отождествив L с подмножеством векторов вида (l, 0) в и пользуясь тем, что i(l, 0) = J(l, 0) = (0, l), мы можем записать любой вектор из L^C в виде

(l₁, l₂) = (l₁, 0) + (0, l₂) = (l₁, 0) + i(l₂, 0) = l₁ + il₂.

Другими словами, , последняя сумма является прямой над R, но не над C!

Любой базис L над R будет базисом L^C над C, так как dim_R L = dim_C L^C.

Пусть теперь - линейное отображение линейных пространств над R. Тогда отображение f^C (или ): , определенное формулой

f(l₁, l₂) = (f(l₁), f(l₂)),

линейно над R и перестановочно с J, так как

fJ(l₁, l₂) = f(- l₂, l₁) = (- f(l₂), f(l₁)) = Jf(l₁, l₂).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-