Доказательство. Обе аксиомы дистрибутивности легко проверяются, исходя из линейности J и формул сложения комплексных чисел. Проверим аксиому ассоциативности умножения:

(a + bi)[(c + di)l] = (a + bi)[cl + dJ(l)] = a[cl + dJ(l)] +

+ bJ[cl + dJ(l)] = acl + adJ(l) + bcJ(l) - bdl = (ac - db)l +

+ (ad + bc)J(l) = [ac - bd + (ad + bc)i]l = [(a + bi)(c + di)]l.

Все остальные аксиомы выполнены по той причине, что L и совпадают как аддитивные группы.

8. Следствие. Если (L, J) - конечномерное вещественное пространство с комплексной структурой, то dim_R L = 2n четна, и матрица J в подходящем базисе имеет вид

Доказательство. Действительно, dim_R L = 2 dim_C в силу теоремы п. 7 и утверждения а) теоремы п. 3 (конечномерность следует из того, что любой базис L над R порождает над C). Далее, выберем базис {e₁, ..., e_n} пространства над C. Матрица умножения на i в этом базисе равна iE_n. Поэтому матрица оператора J в базисе {e₁, ..., e_n; ie₁, ..., ie_n} пространства L имеет требуемый вид в силу утверждения б) теоремы п. 3.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-