Комплексификация и овеществление

1. В разделах Структура линейного отображения и Жорданова нормальная форма мы убедились, что работа над алгебраически замкнутым полем проясняет геометрическую структуру линейных операторов и дает удобную каноническую форму матриц. Поэтому, даже работая с вещественным полем, удобно иногда пользоваться комплексными числами. В этом разделе будут рассмотрены две основные операции: увеличения и уменьшения поля скаляров в применении к линейным пространствам и линейным отображениям. Будет уделено больше всего внимания переходу от R к C (комплексификация) и от C к R (овеществление) и кратко будет рассмотрен более общий случай.

2. Овеществление. Пусть L - линейное пространство над C. Забудем про возможность умножать векторы из L на все комплексные числа и оставим лишь умножение на R. Очевидно, получим линейное пространство над R, которое будем обозначать L_R и называть овеществлением L.

Пусть L, M - два линейных пространства над C, - линейное отображение. Очевидно, рассмотренное как отображение L_R M_R, оно остается линейным. Будем обозначать его f_R и называть овеществлением f. Ясно, что id_R = id, (fg)_R = f_Rg_R; (af + bg)_R = af_R + bg_R, если a, b R.

3. Теорема. а) Пусть {e₁, ..., e_m} - базис пространства L над C. Тогда {e₁, ..., e_m, ie₁, ..., ie_m} является базисом пространства L_R над R. В частности, dim_R L_R = 2 dim_C L.

б) Пусть A = B + iC - матрица линейного отображения в базисах {e₁, ..., e_m} и над C, где B, C - вещественные матрицы. Тогда матрицей линейного отображения f_R: L_R M_R в базисах {e₁, ..., e_m, ie₁, ..., ie_m}, будет

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-