10. Классические алгебры Ли. (Матричной) алгеброй Ли называется любая аддитивная подгруппа квадратных матриц M_n(), замкнутая относительно операции коммутирования [A, B] = AB - BA. Следующие множества матриц составляют классические алгебры Ли; обычно они даже образуют линейные пространства над (иногда над R, хотя = C). Они не являются группами по умножению!

a) Алгебра gl(n, ). Она состоит из всех матриц M_n()

б) Алгебра sl(n, ). Она состоит из всех матриц M_n() со следом нуль (иногда говорят "бесследных"). Замкнутость относительно коммутатора следует из формулы Tr[A, B] = 0, доказанной в п.8. Заметим, что Tr является линейной функцией на пространствах квадратных матриц и линейных операторов, так что sl(n, ) является линейным пространством над .

в) Алгебра о(n, ). Она состоит из всех матриц в M_n(), удовлетворяющих условию A + A^t = 0. Равносильное условие: A = (a_ik), где a_ii = 0 (если характеристика отлична от двух), a_ik = - a_ki. Такие матрицы называются антисимметричными, или кососимметричными. Заметим, что TrA = 0 для всех .

Если A^t = -A, B^t = -B, то [A, B]^t = [B^t, A^t] = [-B, -A] = - [A, B], так что [A, B] кососимметрична. Такие матрицы образуют линейное пространство над .

Попутно заметим, что матрица A называется симметричной, если A^t = A. Множество таких матриц не замкнуто относительно коммутирования, но замкнуто относительно антикоммутирования AB + BA или операции Йордана .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-