3. Матрица линейного отображения. Пусть N и M - конечномерные линейные пространства над с отмеченными базисами {e₁, ..., e_n} и соответственно. Рассмотрим произвольное линейное отображение и поставим ему в соответствие матрицу A_f размера с элементами из поля следующим образом (размеры A_f суть размерности N, M в обратном порядке). Представим векторы f(e_k) в виде линейных комбинаций: . Тогда по определению A_f = (a_ik). Иными словами коэффициенты этих линейных комбинаций суть последовательные столбцы матрицы A_f.

Матрица A_f называется матрицей линейного отображения f относительно базисов (или в базисах) {e_k}, .

В силу предложения, линейное отображение f однозначно определяется образами f(e_k), и в качестве последних можно взять любое семейство из n векторов пространства M. Поэтому описанное соответствие устанавливает биекцию между множеством и множеством матриц размера с элементами из (или над ). Эта биекция, однако, зависит от выбора базисов.

Матрица A_f позволяет также описывать линейное отображение f в терминах его действия на координаты. Если вектор l представлен столбцом своих координат в базисе {e₁, ..., e_n}, т. е. , то f(l) представлен вектором-столбцом , где

Иными словами, - обычное произведение матрицы A_f на столбец .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-