14. Ориентация вещественных линейных пространств. Пусть L - конечномерное линейное пространство над полем вещественных чисел. Два упорядоченных базиса {e_i} и в нем всегда одинаково расположены в том смысле, что имеется единственный линейный изоморфизм , переводящий e_i в . Поставим более тонкий вопрос: когда можно перевести базис {e_i} в базис непрерывным движением, или деформацией, т. е. найти такое семейство линейных изоморфизмов, непрерывно зависящее от параметра , что f₀ = id, для всех i? (Непрерывно зависеть от t должны просто элементы матрицы f в каком-нибудь из базисов.) Для этого имеется очевидное необходимое условие: поскольку при изменении t определитель f_i меняется непрерывно и не проходит через нуль, знак def f_t должен совпадать со знаком det f₀ = 1, т. е. det f_t > 0.

Верно и обратное утверждение: если определитель матрицы перехода от базиса {e_i} к базису положителен, то {e_i} можно перевести в непрерывным движением.

Это утверждение, очевидно, можно сформулировать иначе: любую вещественную матрицу с положительным определителем можно соединить с единичной матрицей непрерывной кривой, состоящей из невырожденных матриц (множество вещественных невырожденных матриц с положительным определителем связно). Чтобы перейти от языка базисов к языку матриц, достаточно работать не с парой базисов {e_i}, {f_i(e_i)}, а с матрицей перехода от первого ко второму.

Докажем это утверждение, разбив его на серию шагов.

а) Пусть A = B₁ ... B_n, где A, B_i - матрицы с положительными определителями. Если все B_j можно соединить с E непрерывной кривой, то это верно и для A.

Действительно, пусть B_j(t) - такие непрерывные кривые в пространстве невырожденных матриц, что B_j(0) = B_j, B_j(1) = E. Тогда кривая A(t) = B₁(t) ... B_n(t) соединяет A с E.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-