3. Определение. Линейный оператор называется диагонализируемым, если выполнено любое из двух равносильных условий:

а) L разлагается в прямую сумму одномерных инвариантных подпространств;

б) существует базис L, в котором матрица оператора f диагональна.

Равносильность этих условий проверяется без труда. Если в базисе (e_i) матрица оператора f диагональна, то , так что одномерные подпространства, натянутые на e_i, инвариантны и L разлагается в их прямую сумму. Наоборот, если - такое разложение и e_i - любой ненулевой вектор из L_i, то {e_i} образуют базис в L.

Диагонализируемые операторы образуют простейший и во многих отношениях самый важный класс. Например, над полем комплексных чисел, как убедимся далее, любой оператор можно делать диагональным, как угодно мало изменив его матрицу, так что оператор "в общем положении" диагонализируем.

Чтобы понять, что может помешать оператору быть диагонализируемым, введем два определения и докажем одну теорему.

4. Определение. 1) Одномерное подпространство называется собственным для оператора f, если оно инвариантно, т. е. . Если L₁ - такое подпространство, то f действует на нем как умножение на скаляр . Этот скаляр называется собственным значением оператора f (на L₁).

2) Вектор называется собственным для f, если линейная оболочка l является собственным подпространством. Иными словами, и для подходящего

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-